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【数学建模笔记 14】数学建模的模糊数学模型

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模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。现实的数学模型可以分为三大类：确定性数学模型、随机性数学模型、模糊性模型。

定义

模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。

现实的数学模型可以分为三大类：

  • 确定性数学模型：模型背景具有确定性，对象之间具有必然关系；
  • 随机性数学模型：模型背景具有随机性和偶然性。
  • 模糊性模型：模型背景具有模糊性。

被讨论的对象全体称论域，用 等表示。

对于论域 的每个元素和某一子集 ，在经典数学中，要么 ，要么 。

在模糊数学中，称没有明确边界的集合为模糊集合，元素属于模糊集合的程度用隶属度表示，计算隶属度的函数称隶属函数。

论域 到 闭区间上的任意映射 都确定了 上的一个模糊集合， 称隶属函数，记 ，使得 的点称过渡点，最具模糊性。

指派法

指派法是一种主观方法，依据人们的实践经验确定隶属函数。一些常用分布如：

  • 矩阵型

  • 梯形型

  • k 次抛物型

  • 型

  • 正态型

模糊矩阵

设 ， 为从 到 ​ 的模糊关系，隶属函数为 ，对任意 ，有 记 为模糊矩阵。

## 模糊模型识别

最大隶属度原则

设 ，对 ，若存在 ，使 则认为 相对隶属于 。

例子

考虑人的年龄问题，分年轻、中年、老年三类，对应三个模糊集 ，设论域 ，且对 有

若某人 35 岁，代入得 可见 35 岁属于中年。

择近原则

设 ，若存在 使 则认为 与 ​ 最贴近，判定为一类。其中 表示 的贴进度。

贴近度

贴进度是对两个模糊集接近程度的度量。

  • 海明贴近度

若 ，则 若 ​，则

  • 欧几里得贴近度

若 ，则 若 ​，则

  • 黎曼贴近度

若 ，则

例子

设集合 ​,​,​，确定 属于哪一类。

由欧几里得贴近度有 因此 属于 类。

模糊聚类

构造模糊矩阵

设全体为论域 ，对象 的特性由 个指标表示，记 ，得 如果需要，作标准化处理得 计算 的模糊相似系数，构造模糊相似矩阵 计算模糊相似系数的方法有：

  • 夹角余弦法

  • 相关系数法

  • 距离法 选取适当 使 ​，并选取适当距离公式 。

  • 最大最小法

  • 算术平均最小法

  • 几何平均最小法

构造模糊等价矩阵

构造得到的 一般只满足自反性和对称性，采用平方法求出 的传递闭包 。

对于矩阵 ​，计算 其中

迭代计算 ​​，

直到出现 ，即有 。

聚类

对于 ​​​ 的每个元素 ​​，取不同阈值 ​​ 时，若 ​，认为 ​ 属于一类，反之不属于一类，从而画出聚类图。

例子

有五个类 ，，，，。

使用距离法求相似系数 得相似矩阵 平方法求传递闭包得 于是有：

  • ​​；
  • ​；
  • ​；
  • ​；
  • ​​。

模糊综合评价

  1. 确定指标集 和权重向量 ；
  2. 建立评语集 ；
  3. 建立评价向量，获得评价矩阵 ；
  4. 合成模糊综合评价结果向量，得到结果向量

对于 算子，通常有以下 4 种：

Python 代码

模糊聚类

对模糊聚类中的例子求解并画聚类图，代码如下：

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#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @ author: Koorye
# @ date: 2021-7-29
# @ function: 模糊聚类

# %%

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage

# %%


# 距离公式
def dist(x, y):
	return np.sum(np.abs(x - y))

# 源数据
A = np.array([[5, 5, 3, 2],
              [2, 3, 4, 5],
              [5, 5, 2, 3],
              [1, 5, 3, 1],
              [2, 4, 5, 1]])

# 构造相似模糊矩阵
num = len(A)
R = np.zeros((num, num))
for i in range(len(A)):
	for j in range(len(A)):
		R[i, j] = 1 - .1 * dist(A[i, :], A[j, :])
print('R =\n',R)

# %%

# 平方法求传递闭包
def tr(R):
    R2 = R.copy()
    for row in range(len(R)):
        for col in range(len(R)):
            r_list = []
            for i in range(len(R)):
                r_list.append(np.min([R[row, i], R[i, col]]))
            R2[row, col] = np.max(r_list)
    return R2

R_old = R
R = tr(R)
while np.sum(np.abs(R-R_old)) > 1e-4:
    R_old = R
    R = tr(R)
print('t(R) =\n', R)

# %%

# 画聚类图
R2 = np.triu(1-R, 1)
R2 = R2[R2!=0]
Z = linkage(R2)
dendrogram(Z, labels=['I','II','III','IV','V'])

输出如下：

1
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12
R =
 [[1.  0.1 0.8 0.5 0.3]
 [0.1 1.  0.1 0.2 0.4]
 [0.8 0.1 1.  0.3 0.1]
 [0.5 0.2 0.3 1.  0.6]
 [0.3 0.4 0.1 0.6 1. ]]
t(R) =
 [[1.  0.4 0.8 0.5 0.5]
 [0.4 1.  0.4 0.4 0.4]
 [0.8 0.4 1.  0.5 0.5]
 [0.5 0.4 0.5 1.  0.6]
 [0.5 0.4 0.5 0.6 1. ]]