【数学建模笔记】数学建模的偏微分方程的数值解

各种物理性质的定常过程都可用椭圆型方程描述 当 时，即拉普拉斯方程 第一边值问题 其中 ​ 为以 为边界的有界区域， 为分段光滑曲线， 称定解区域， 分别为 上的已知连续函数。

差分解法

椭圆型

考虑第一边值问题 取 分别为 ​ 方向的步长，记 则由二阶差商公式

于是有

略去 得近似的差分方程 称五点菱形格式。

实际计算时常取 ，得 记 其中

双曲型

考虑 令 ​，则有 记 ，则有 存在矩阵 ，使得 作变换 ，则有 而对于一阶双曲型方程，取 方向步长分别为 ，则有