微分方程建模是数学建模的重要方法，大体可以按以下几步：

1. 根据实际要求确定要研究的量 (自变量、未知函数、必要参数)，确定坐标系；
2. 找出这些量所满足的基本规律；
3. 运用规律列出方程和定解条件。

微分方程的数值解

考虑一阶常微分方程 在区间 上的解。

回归分析是对拟合问题作统计分析，包括模型建立、可信度检验、预测和控制。

回归分析的主要步骤是：

1. 由观测值确定参数 (回归系数) 的估计值；
2. 对线性关系、自变量的显著性进行统计检验；
3. 利用回归方程进行预测。

多元线性回归分析

参数估计

对于 元线性回归模型 对 作 次抽样得到 组数据 ，

记

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。

最小二乘拟合

已知一组点 ​，​ 互不相同，寻求一个函数 ​，使 在某种准则下与所有数据点最为接近。

称 为拟合函数 在 ​​ 点的偏差，可以采用偏差平方和最小作为判定准则，即让 达到最小值。这一原则称最小二乘原则。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。

插值方法

拉格朗日插值

用多项式作为插值工具，称代数插值。

已知函数 在区间 上 个不同点 处的函数值 ，求一个至多 次多项式 使其在给定点处与 同值，即 根据插值条件，构造方程组 记变量矩阵为 ，则 是范德蒙特行列式。当 互不相同时，值不为 0，因此方程组有唯一解。

对策论亦称竞赛论或博弈论，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。

基本要素：

• 局中人：在一个对策行为中，有权决定自己行动方案的对策参加者，通常用 ​ 表示局中人集合；
• 策略集：一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整行动方案称一个策略，每个局中人 都有自己的策略集 ​；
• 赢得函数 (支付函数)：一局对策中，各局中人所选定的策略形成的策略组称一个局势，即若 是第 个局中人的一个策略，则策略组 就是一个局势。全体局势的集合可用各局中人策略集的笛卡尔积表示，即 对任意局势 ，局中人 可以得到一个赢得 ，称赢得函数。

排队论也称随机服务系统理论，它研究的内容有三部分：

• 形态问题：各种排队系统的概率规律性，如队长分布、等待时间分布、忙期分布等；
• 最优化问题：分静态最优 (最优设计) 和动态最优 (最优运营)；
• 排队系统的统计推断：判断一个给定的排队系统符合于哪种模型。

排队论的一般模型如图：

graph LR

arrive[顾客随机到达]
subgraph 排队系统
queue[顾客排队]
srv["服务机构(服务时间随机)"]
end
leave[顾客离去]
arrive --> queue
queue --> srv
srv --> leave

• 无向图：一个非空有限集合 和 中的某些元素的无序对集合 ​ 构成的二元组，记 其中 称顶点集或结点集， 称边集，​ 中的每个元素 ​ 为 ​ 中某两个元素 的无序对，记 称从 ​ 到 的边；

  • 有限图：结点集和边集都有限的图；
  • 简单图：没有环也没有两条边连接同一对结点。

动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

动态规划是求解某类问题的一种方法，而不是一种特殊算法，没有标准的数学表达式和明确定义的一组规则。

动态规划的基本概念有：

• 阶段：对整个过程的自然划分，阶段变量一般用 表示；

• 状态：每个阶段开始时过程所处的自然状况，用 表示第 阶段的状态变量，用 表示第 阶段的允许状态集合；

• 决策：一个阶段的状态确定后，作出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，用 ​ 表示第 ​ 阶段处于状态 ​ 时的决策变量，用 表示 的允许决策集合；

• 策略：决策组成的序列。由第 到第 ​ 阶段的子过程策略记

• 状态转移方程：表示状态和决策确定下一状态的演变规律，记

• 指标函数：衡量过程优劣的数量指标，记

• 最优值函数：使指标函数达到最优，记 其中 可取 或 。

03. 非线性规划

定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法。

非线性规划模型描述如：

其中 ，而 都是实值函数。

一般非线性规划只能得到局部最优解，不能保证是全局最优解。

规划中的变量 (部分或全部) 限制为整数时，称为整数规划。

若在线性规划模型中变量限制为整数，则称为整数线性规划。

分类：

• 变量全限制为整数时，称纯 (完全) 整数规划；
• 变量部分限制为整数时，称混合整数规划。